MATEMATIKA EKONOMI
PENERAPAN DEFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
DALAM EKONOMI
KELOMPOK : VII (TUJUH)
NAMA : 1. BERRY PORLIWAN
2. M. IRFAN AZHARI
3. MEDIKA YUNITA
Fakultas Syariah dan Ekonomi Islam Prodi
Perbankan Syariah
Institut Agama Islam Negeri ( IAIN )
BENGKULU
2013
PENERAPAN
DEFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
DALAM EKONOMI
A.
ELASTISITAS
Elastisitas
dari suatu fungsi berkenaan dengan y = ƒ(x) dapat didefinisikan sebagai
:
Ini
berarti bahwa elastisitas y = ƒ(x) merupakan limit dari rasio antara
perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan
x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y
terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap
perubahan x.
a)
Elastisitas Permintaan
Elastisitas
permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price
elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan
jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio
antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase
perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan
Qd =
f(P), maka elastisitas permintaannya :
Permintaan
akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila |ηd| , elastic –
uniter jika , dan inelastic bila |ηd|
. Barang yang permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang
tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan
berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada
persentase perubahan harganya.
Contoh
kasus:
Fungsi
permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 25 – 3 P2 .
tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 5.
ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 5, harga naik (turun)
sebesar 1 persen maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah)
sebanyak 3 persen.
b)
Elastisitas Penawaran
Elastisitas
penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price
elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya
perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi,
merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran
dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya :
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat
elastic
apabila ηs > 1 , elastic – uniter jikaηs = 1 dan inelastic
bilaηs < 1 . Barang yang penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa
jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil
daripada persentase perubahan harganya.
Contoh
kasus :
Fungsi
penawaran suatu barang dicerminkan oleh Qs = -200 + 7 P2. Berapa elastisitas
penawarannya pada tingkat harga P = 10 dan P = 15 ?
ηs =
2,8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun)
sebesar 1 % maka
jumlah
barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%
Dan
ηs = 2,3 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 15, harga naik (turun)
sebesar 1% maka
jumlah
barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3%
B.
BIAYA
MARGINAL
Biaya
marjinal (marginal cost, MC ) ialah biaya tambahan yang di keluarkan
untukmenghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya
marjinal merupakan derivatif pertama fungsi biaya total diyatakan dengan C =
ƒ(Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya
marjinalnya:
|
|
Contoh
kasus
Biaya total : C = ƒ(Q) = Q³ – 3 Q² + 4 Q + 4
Biaya marjinal : MC = C’ = dC/dQ= 3 Q² – 6 Q + 4
Pada
umumnya fungsi biaya total yang non – linear berbentuk fungsi kubik, sehingga
fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat. Dalam hal demikian, seperti
ditunjukan di atas, kuarva biaya marjinal (MC ) selalu mencapai minimumnya
tepat pada saat kurva biaya total (C ) berada pada posisi beloknya.
C = Q³ – 3 Q² + 4 Q + 4
MC = C’ = 3 Q ² – 6 Q + 4
(MC)’ = C” = 6 Q – 6
MC minimum jika (MC)’ = 0
(MC)’ = 0 6 Q – 6 = 0 Q = 1
Pada Q = 1 MC = 3 (1)² – 6(1) + 4 = 1
C = 1³ – 3 (1)² + 4(1) + 4 = 6
C, MC
6
C
4
MC
1
0 1
Q
BIAYA
MARGINAL
• TC
= C(Q) total cost
• MC = C'(Q) marginal cost
• AC = C(Q)/Q average cost
Biaya
Tetap (Fixed Cost : FC) yaitu,
merupakan balas jasa dari pada pemakaian faktor produksi
tetap
(fixed factor), yaitu biaya yang dikeluarkan tehadap penggunaan faktor
produksi yang tetap
dimana
besar kecilnya biaya ini tidak dipengaruhi oleh besar kecilnya output yang
dihasilkan.
Biaya
tidak tetap (Variabel cost : VC),
yaitu merupakan biaya yang dikeluarkan sebagai balas jasa atas pemakaian
variabel faktor, yang besar kecilnya dipengaruhi langsung oleh besar kecilnya
output.
Biaya
Total (Total cost : TC),
yaitu merupakan jumlah keseluruhan dari biaya tetap dan biaya tidak tetap.
Biaya
Rata-rata (Average Cost : AC),
yaitu merupakan ongkos persatu satuan output; baik untuk biaya rata-rata tetap
(average fixed cost) dan biaya rata-rata variabel (average variable
cost) dan rata-rata total (average total cost), diperoleh dengan
jalan membagi biaya Total dengan jumlah output yang dihasilkan.
Biaya
Marginal (Marginal cost : MC),
yaitu merupakan biaya tambahan yang diakibatkan dari penambahan satu-satuan
unit output.
Biaya
Tetap Rata-Rata (Average fixed cost : AFC), biaya hasil bagi biaya tetap dengan jumlah yang dihasilkan.
Biaya
Variabel Rata-Rata (Average Variable cost : AVC), diperoleh dengan jalan membagi biaya variabel dengan jumlah
produk yang dihasilkan.
RUMUS
:
Biaya
tetap : FC = k (k=konstanta)
Biaya
variable : VC = f(Q)
Biaya
total : TC = FC + VC = k + f(Q) = f(Q)
Biaya
tetap rata-rata : AFC = FC / Q
Biaya
variable rata-rata : AVC = VC / Q
Biaya
rata-rata : AC = TV / Q = AFC + AVC
Biaya
marjinal : MC = DTC / DQ
Hubungan
antara biaya total dan bagian-bagiannya :
A.
Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolic
Andaikan
TC = aQ2 – bQ + c
VC =
aQ2 – bQ
FC =
c
maka
:
AC = TC / Q = aQ – b + c / Q
AVC
= VC / Q = aQ – b
AFC = FC / Q = c / Q
Baik
biaya total (TC) maupun biaya variable (VC) sama-sama berbentuk parabola.
Perbedaan antara keduanya terletak pada konstanta c, yang mencerminkan biaya
tetap (FC).
B.
Biaya total merupakan fungsi kubik
Andaikan
TC = aQ3 – bQ2 + cQ + d
VC =
aQ3 – bQ2 - cQ
FC =
d
maka
:
AC = TC / Q = aQ2 – bQ + c + d / Q
AVC
= VC / Q = aQ2 – bQ + c
AFC = FC / Q = d / Q
Biaya
total berfungsi kubik diatas selalu membuahkan AC dan AVC berbentuk parabola
terbuka keatas.
Contoh;
Biaya
total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan TC =
2Q2 – 24Q + 102.
-
Pada tingkat produksi berapa unit biaya total (TC) ini
minimum
?
-
Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut !
-
Hitung pula besarnya biaya tetap (FC), biaya variable (VC),
biaya rata-rata (AC), biaya tetap rata-rata (AFC) dan
biaya
variable rata-rata (AVC) pada tingkat
produksi tadi !
- Seandainya
dari kedudukan ini produksinya dinaikkan 1 unit,
berapa
besarnya biaya marjinal (MC) ?
Jawab
:
Untuk TC minimum maka ® dTC / dQ = 0
TC =
2Q2 – 24Q + 102
dTC / dQ = 4Q – 24 = 0
Q =
6
Untuk
Q = 6 ® besarnya TC minimum adalah
TC =
2Q2 – 24Q + 102
TC =
2(6)2 – 24(6) + 102
TC =
30
Selanjutnya
pada Q = 6 ini :
FC =
102
VC = 2Q2 – 24Q = 2(6)2 – 24(6) = -72
AC = TC / Q = 30 / 6 = 5
AFC = FC / Q = 102 / 6 = 17
AVC = VC / Q = -72 / 6 = -12
Seandainya produksi dinaikkan 1 unit, maka :
Q =
7
TC =
2Q2 – 24Q + 102
TC =
2(7)2 – 24(7) + 102
TC =
32
MC =
DTC / DQ
MC =
(32 – 30) / (7 – 6)
MC =
2
C.
PENERIMAAN
MARGINAL
Penerimaan
marjinal ( marginal revenue , MR ) ialah penerimaan tambahan yang diperoleh
berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara
matematik, fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi
penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = ƒ (Q )
dimana R melambangkan penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka
penerimaan marjinalnya :
|
|
Karena
fungsi penerimaan total non – linear pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat
(parabolik), fungsi penerimaan marjinal akan berbentuk fungsi linear. Kurva
penerimaan marjinal (MR) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva penerimaan
total (R) berada pada posisi puncaknya.
Contoh
Andaikanfungsi
permintaan akan suatu barang di tunjukan oleh P = 16 – 2 Q
Penerimaan
total :
R =
P . Q = ƒ (Q) = 16 Q – 2 Q²
Penerimaan
marjinal :
MR =
R’ = 16 – 4 Q
Pada
MR = 0, Q = 4
P =
16 – 2 (4) = 8
R =
16(4) – 2 (4)² = 32
D.
UTILITAS
MARGINAL
Utilitas
marjinal ( marjinal utility, MU ) ialah utilitas tambahan yang di peroleh
konsumen berkenaan satu unit tabahan barang yang dikomsomsinya .secara
matematik,fungsi utilitas marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi rutinitas total jika
funsi utilitas total dinyatakan dengan U=F(Q) dimana U melambangkan ultilitas
total dan Q adalah jumlah barang yang di komsumsi, maka biaya marjinalnya :
Karena fungsi utilitas total yang non – linear
pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan
berbentuk fungsi linear. Kurva ultilitas total (U) berada di posisi puncaknya.
Contoh
:
U =
ƒ(Q) = 90 Q – 5 Q²
MU =
U’ = 90 – 10 Q
U
maksimum pada MU = 0
MU = 0 Q = 9
= 90(9) – 5(9)²
= 810 – 450
=405
E.
PRODUK
MARGINAL
Produk
marjinal ( marginal product, MP) ialah produk tambahan yang di hasilkan dari
satu unit tambahan faktor produksi yang di gunakan. Secara matematik, fungsi
produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total jika fungsi produk tatal. Jika
fungsi produk total dinyatakan dengan P = ƒ(X) dimana P melambangkan jumlah
produk total dan X jumlah masukan. Maka produk marjinalnya :
|
|
karena
fungsi produk total yang non – linear pada umumnya berbenruk fungsi kubik,
fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat ( prabolik ). Kurva
produk marjinal ( MP ) selalu mencapai nilai ekstrimnya, dalam hal ini nilai
maksimum, tepat pada saat kurva produk total (P) berada pada posisi titik
beloknya ; kedudukan ini mencermikan berlakunya hukum tambahan hasil yang
semakin berkurang . produk total mencapai puncak ketika produk marjinal nya
nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersama dengan produk marjinal
menjadi negatif. Area dimana produk marjinal negatif menunjukkan bahwa
penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah
produk total, mengisyaratkan terjadinya disefisiensi dalam kegiatan produksi. Dalam
area ini, jika produk total hendak di tingkatkan, jumlah masukan yang digunakan
harus di kurangi.
Produksi
total :
P =
ƒ(X) = 9X² – X³
Produk
marjinal :
MP=
P’ = 18 X – 3X²
Pmaksimum
pada P’ = 0 ; yakni pada
X =
6, dengan P maksimum = 108
P
berada pada titi belok dan MP maksimum pada P” = (MP)’ = 0;
Yakni
pada X = 3.
F.
ANALISIS
KEUNTUNGAN MAKSIMUM
Tingkat produksi yang memberikan makanan keuntungan maksimum,
atau menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pedekatan diferensial.
Karena baik penerimaan total (R) maupun biaya total (C) sama-sama merupakan
fungsi dari jumblah keluaran yang dihasilkan/terjual (Q), maka dari sini dapat
dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan (
). Nilai ekstrim
atau nilai optimum
dapat ditentukan dengan cara menetapkan
derivatif pertamanya sama dengan nol.
R =r(Q)
=R–C=r(Q)–c(Q)=ƒ(Q)
C=c(Q)
optimul jika jika n1 = ƒ1(Q)= d n /Dq = 0
Karena
= R–C berarti pada
optimum:
Maka
= R’ – C’ = MR – MC
= 0
MR – MC = 0 MR = MC
Secara
grafik, kesamaaan MR=MC atau kedudukan
=0 ditunjukan oleh perpotogan antara kurva
penerimaan marjinal (MR) dan kurva biaya marjinal (MC). Hal ini sekali gus
mencerminkan jarak terlebar antara kurva penerimaan total (R) dan kurva biaya
total (C). Akan tetapi akan syarat MR=MC atau
=0 belumlah cukup untuk mengisyaratkan
keuntungan maksimum, sebap jarakterlebar yang dicerminkan mungkin merupakan
selisih positif “R – C” (berarti keuntungan) atau merupakan selisih negatif “R
– C” (berarti kerugian).
Untuk mengetahui apaka
= 0 mencrminkan keuntungan maksimum ataukah
justre kerugian maksimum, perlu diuji melalui derivatif kedua dari fungsi
.
|
Jika
Jika
|
|
|
